题目

在中， ． （1） 证明：为的重心． （2） 若 ， 求的最大值，并求此时的长． 答案： 证明：设BC边的中点为E，则GB⃗+GC⃗=2GE⃗，因为GA⃗+GB⃗+GC⃗=0→，所以GA⃗=−2GE⃗，设AC的中点为F,AB的中点为H，同理可得GB⃗=−2GF⃗,GC⃗=−2GH⃗，综上：A,G,E三点共线，B,G,F三点共线，C,G,H三点共线，则G为△ABC三条中线的交点，即G为△ABC的重心； 解：由（1）知GA⃗=−2GE⃗，因为AG=4，所以EG=2，因为BC=6，所以BE=CE=3，设∠CEG=α，则∠BEG=π−α,cos∠BEG=−cosα，由余弦定理得CG2=22+32−2×2×3cosα，BG2=22+32+2×2×3cosα，则BG2+CG2=26，设BG=26cosθ,CG=26sinθ,θ∈0,π2，所以BG+3CG=26cosθ+3sinθ=226sinθ+π6，当θ+π6=π2，即θ=π3时，BG+3CG取得最大值，且最大值为226，BG=26cosπ3=13+12cosα，解得cosα=−1324，故AB=BE2+AE2−2BE⋅AEcos∠BEG=32+62−36×1324=512=1022．

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