题目

已知数列 ， ， 满足 ， ， . （1） 证明是等比数列，并求的通项公式； （2） 设 ， 证明：. 答案： 证明：因为an+1=an3，a1=10>0，所以lgan+1=lgan3，即lgan+1=3lgan，即bn+1=3bn，又因为b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，所以{bn}的通项公式为bn=3n−1 证明：因为cn=log3b1+log3b2+log3b3+⋯+log3bn+log3bn+1，所以cn=0+1+2+⋯+(n−1)+n=n(n+1)2，所以1cn=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1c1+1c2+1c3+⋯+1cn=2×(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)，即1c1+1c2+1c3+⋯+1cn=2(1−1n+1)<2，所以1c1+1c2+1c3+⋯+1cn<2

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