题目

已知函数 ． （1） 证明：的定义域与值域相同． （2） 若 ， 求m的取值范围． 答案： 证明：由{x2−1>0,x−1>0,得x>1，所以f(x)的定义域为(1,+∞)f(x)=log2x2−1x−1=log2(x+1)，因为f(x)=log2(x+1)在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)=log22=1，所以f(x)的值域为(1,+∞)，所以f(x)的定义域与值域相同． 解：由（1）知f(x)=log2(x+1)在(3,+∞)上单调递增，所以当x∈[3,+∞)时，f(x)min=f(3)=2．设g(t)=1t2−4t=(1t−2)2−4，当1t=2，即t=12时，g(t)取得最小值，且最小值为−4．因为∀x∈[3,+∞),∀t∈(0,+∞),f(x)+1t2−4t>m，所以m<f(x)min+g(t)min=−2，即m的取值范围为(−∞,−2)．

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