题目

已知直线 经过点 . （Ⅰ）当 在两坐标轴上的截距相等时，求 的方程； （Ⅱ）若 与 轴、 轴的正半轴分别相交于 、 两点，当三角形 的面积最小时，求 的方程. 答案：解：（Ⅰ） ∵l 在两坐标轴上的截距相等， 当直线不经过原点时，设它的方程为 x+y=n ，把点 P(4，6) 代入可得 n=10 ， 故 l 的方程为 x+y=10 ，即 x+y−10=0 . 当直线过原点时，设它的方程为 y=kx ，把点 P(4，6) 代入可得 k=32 ， 故 l 的方程为 y=32x ，即 3x−2y=0 . 综上可得，直线 l 的方程为 x+y−10=0 或 3x−2y=0 . （Ⅱ）设直线 l 的方程为 xa+yb=1(a>0，b>0) ，则 4a+6b=1 ∴1≥24a⋅6b 得 ab≥96 ，当且仅当 a=8，b=12 时，等号成立， 此时△ AOB 面积最小，最小值为48. ∴ 直线 l 的方程为 x8+y12=1 ，即 3x+2y−24=0

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