题目

如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）。点M从O出发，以每秒2个单位长度的速度向A运动，点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动。其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。过点N作NP垂直于x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ。（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．答案：【1】M 解：经过t秒时， NB=t ， OM=2t ，则 CN=3−t ， AM=4−2t∵ ∠BCA = ∠MAQ = 45∘ ，∴ QN= CN =3−t ∴ PQ =1+ t∴ SΔAMQ=12AM⋅PQ=12(4−2t)(1−t) =−t2+t+2 ∴ S=−t2+t+2=−(t−12)2+94 ∵ 0≤t≤2 ∴当 t=12 时，S的值最大解：存在。设经过t秒时，NB=t，OM=2t ，则 CN=3−t ， AM=4−2t ∴ ∠BCA = ∠MAQ = 45∘ ①若 ∠AQM=90∘ ，则 PQ 是等腰Rt△ MQA 底边 MA 上的高，∴ PQ 是底边 MA 的中线 ∴ PQ=AP=12MA ，∴ 1+t=12(4−2t) ，∴ t=12 ， ∴点 M 的坐标为（1，0）②若 ∠QMA=90∘ ，此时 QM 与 QP 重合，∴ QM=QP=MA ，∴ 1+t=4−2t ，∴t=1，∴点 M 的坐标为(2，0).

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