题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=． （1）求证：PA⊥BD； （2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值． 答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）连接AC，交BD于O，运用线面垂直的判定和性质，可得AB⊥BC，求得∠BAC=30°，可得AC⊥BD，再由线面垂直的判定和性质，即可得证； （2）过O作OF∥PC，交AP于F，以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，分别求得A，B，C，D，P的坐标，可得向量，的坐标，设出平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），由向量垂直的条件：数量积为0，可得=（2，0，1），再取PB的中点E，连接CE，可得向量CE为平面ABP的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于O， 由PC⊥平面ABCD，可得PC⊥AB， 又AB⊥BP，BP∩PC=P， 可得AB⊥平面PBC，即有AB⊥BC， 由BC=，AB=2，可得tan∠BAC==， 即∠BAC=30°，又∠ABD=60°， 则∠AOB=90°， 即AC⊥BD，又PC⊥BD， 则BD⊥平面PAC，即有PA⊥BD； （2）由O为BD的中点，过O作OF∥PC，交AP于F， 可得F为AP的中点，且OF⊥平面ABCD， 以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz， 则A（，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），C（﹣，0，0），P（﹣，0，）， 则=（0，2，0），=（，1，﹣）， 设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z）， 由，取z=1，x=2， 可得为=（2，0，1）， 取PB的中点E，连接CE，由PC=BC，可得CE⊥AP， 又AB⊥平面PBC，可得AB⊥CE，即有CE⊥平面ABP， 由E（﹣，，），即有=（，，）为平面ABP的一个法向量． 即有cos＜，＞===， 可得sin＜，＞==． 即有二面角A﹣BP﹣D的正弦值为． 　

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