题目

已知函数 ． （1） 当 时，求 在 ， （1） 处的切线方程； （2） 当 ， 时， 恒成立，求 的取值范围． 答案： 解： a=2 时， f(x)=2x(x+1)lnx−x+1 ， f'(x)=2(2x+1)lnx+2x+1 ， 故 f （1） =0 ， f' （1） =3 ， 故切线方程是： y=3(x−1) ， 即 3x−y−3=0 解：当 x∈[1 ， +∞) 时， f(x)⩾0 恒成立， 即 ax(x+1)lnx⩾x−1 ， x=1 时，显然成立， x>1 时，只需 a⩾x−1x(x+1)lnx 在 (1,+∞) 恒成立， 令 h(x)=x−1x(x+1)lnx ， (x>1) ， 则 h'(x)=(−x2+2x+1)lnx−x2+1(x2+x)2ln2x ， 令 m(x)=(−x2+2x+1)lnx−x2+1 ， (x>1) ， 则 m'(x)=2(1−x)lnx−3x+2+1x<0 ， 故 m(x) 在 (1,+∞) 递减， 故 m(x)<m （1） =0 ， 故 h'(x)<0 在 (1,+∞) 恒成立， 故 h(x) 在 (1,+∞) 递减， 而 limx→1x−1x(x+1)lnx=limx→11(2x+1)lnx+x+1=12 ， 故 a⩾12 ．

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