题目

已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根． （1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值； （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．       答案：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1， 由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）． 抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0）， ∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a）， 令x=0，得y=﹣5a， ∴C点的坐标为（0，﹣5a）． 依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a， 过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a． S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC =（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC =（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a =15a， 而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a， ∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1；  ……3分 （2）如解答图所示， 在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2， 设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3， 在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2． ∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形， 由勾股定理得：AD2+CD2=AC2， 即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=， ∵a＞0， ∴a=， ∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．

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