题目

如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界．磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO1=2R，金属圆筒轴线与磁场平行．金属圆筒用导线通过一个电阻r0接地，最初金属圆筒不带电．现有一电子枪对准金属圆桶中心O射出电子束，电子束从静止开始经过加速电场后垂直于左边界MN向右射入磁场区，已知电子质量为m，电量为e．电子重力忽略不计．求： （1） 最初金属圆筒不带电时，则a．当加速电压为U时，电子进入磁场时的速度大小；b．加速电压满足什么条件时，电子能够打到圆筒上； （2） 若电子束以初速度v0进入磁场，电子都能打到金属圆筒上（不会引起金属圆筒内原子能级跃迁），则当金属圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r0的电流恒为I，忽略运动电子间的相互作用和金属筒的电阻，求此时金属圆筒的电势φ和金属圆筒的发热功率P．（取大地电势为零） 答案： 解：a．设电子经过电场加速后的速度为v1，由动能定理，有：   eU=12mv12解得：   v1=2eUmb．令电子恰好打在圆筒上时，加速电压为U0，设电子进入磁场时速度为v2，轨道半径为r，做出电子的轨迹如图所示，O2为轨道的圆心．由几何关系得：r2+（2R）2=（r+R）2解得：   r=3R2磁偏转过程，根据牛顿第二定律，有：   ev2B=mv22r直线加速过程，根据动能定理，有：   eU0=12mv22解得：   U0=9eB2R28m所以当 U≥9eB2R28m 时，电子能够打到圆筒上 解：当圆筒上的电量达到相对稳定时，圆筒上的电荷不再增加，此时通过r0的电流方向向上．根据欧姆定律，圆筒跟地面间的电压大小为：U1=Ir0由0﹣φ=U1可得：φ=﹣Ir0单位时间内到达圆筒的电子数：   n=Ie故单位时间内到达圆筒上的电子的总能量：   E=n×12mv02=mIv022e单位时间内电阻消耗的能量：   Er=I2r0所以圆筒的发热功率：P=E﹣Er= mIv022e ﹣I2r0

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