题目

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE． （1） 依题意，补全图形； （2） 求证：四边形EFMN是矩形； （3） 连接DM，若DM⊥AC于点M，ON=3，求矩形ABCD的面积． 答案： 解：如图所示： 证明：∵点E，F分别为OA，OB的中点， ∴EF∥AB，EF= 12 AB，同理：NM∥CD，MN= 12 DC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，∴EF∥NM，EF=MN，∴四边形EFMN是平行四边形，∵点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，∴EO= 12 AO，MO= 12 CO，在矩形ABCD中，AO=CO= 12 AC，BO=DO= 12 BD，∴EM=EO+MO= 12 AC，同理可证FN= 12 BD，∴EM=FN，∴四边形EFMN是矩形 解：∵DM⊥AC于点M， 由（2）MO= 12 CO，∴DO=CD，在矩形ABCD中，AO=CO= 12 AC，BO=DO= 12 BD，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵MN∥DC，∴∠FNM=∠ODC=60°，在矩形EFMN中，∠FMN=90°．∴∠NFM=90°﹣∠FNM=30°，∵NO=3，∴FN=2NO=6，FM=3 3 ，MN=3，∵点F，M分别为OB，OC的中点，∴BC=2FM=6 3 ，∴矩形的面积为BC•CD=36 3

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