题目

已知数列满足 ， ， . （1） 求数列的通项公式； （2） 设 ， 求证：. 答案： 解：由题意a2n+1=a2n+1=2a2n−1+1，所以a2n+1+1=2(a2n−1+1)，因为a1+1=2≠0，所以数列{a2n−1+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a2n−1+1=2n，即a2n−1=2n−1，而a2n=2a2n−1=2n+1−2，所以an={2n+12−1，n为奇数， 2n2+1−2，n为偶数.  解：方法一：由(1)得T2n =∑i=1n(1a2i−1+1a2i)=32∑i=1n12i−1=32∑i=1n2i+1−1(2i−1)(2i+1−1)<32∑i=1n2i+1(2i−1)(2i+1−1)=3∑i=1n2i(2i−1)(2i+1−1)=3∑i=1n(12i−1−12i+1−1)=3(1−12n+1−1)<3方法二：因为2n−1≥2n−1(n∈N*)，所以T2n=∑i=1(1a2i−1+1a2i)=32∑i=112i−1≤32∑i=112i−1=3(1−12n)<3.

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