题目

已知函数 ， . （1） 写出函数在的零点个数，并证明； （2） 当时，函数有零点，记的最大值为 ， 证明：. 答案： 解：函数f(x)在x∈[1，+∞)有唯一零点理由如下：由题意得f′(x)=1x−1−lnx，x∈[1，+∞)，易知f′(x)单调递减，且f′(1)=0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在[1， +∞)上单调递减，f(2)=1−ln2>0，f(e)=2−e<0，所以f(x)在[1，+∞)上有唯一的零点x0∈(2，e). 解：令g(x)=aex−xlnx=0，即xlnxex=a，令h(x)=xlnxex=a，所以h′(x)=(1−x)lnx+1ex，由（1）可知h′(x)在[1，+∞)上有唯一的零点x0∈(2，e).且h(x)在[1，x0)上单调递增，在[x0，+∞)上单调递减，所以h(x)在x=x0处取得极大值即最大值，所以t=x0lnx0ex0.下证2ln2e2<t<2e2，一方面h(x0)>h(2)=2ln2e2，另一方面，欲证t<2e2⇔x0lnx0ex0<2e2，又(1−x0)lnx0+1=0，所以只需要证明1+lnx0ex0<2e2，记φ(x)=1+lnxex，φ′(x)=1x−lnx−1ex，由前面可知φ(x)在(1，+∞)上单调递减，所以φ(x0)<φ(2)=2e2，证毕.

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