题目

已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足 ， ． （1） 求A和a的大小； （2） 若为锐角三角形，求的面积S的取值范围． 答案： 解：因为(2b−c)cosA=acosC，由正弦定理得：(2sinB−sinC)cosA=sinAcosC所以2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，所以2sinBcosA=sin(C+A)=sinB，因为△ABC中sinB≠0，所以cosA=12，因为A∈(0，π)，所以A=π3，因为bcosC+ccosB=1，由余弦定理得：b⋅a2+b2−c22ab+c·a2+c2−b22ac=1，解得a=1，综上，A=π3，a=1 解：由（1）知：A=π3，a=1，由正弦定理得：b=asinBsinA=23sinB，c=asinCsinA=23sinC=23sin(23π−B)．因为△ABC为锐角三角形，故{B∈(0，π2)C=23π−B∈(0，π2)，得B∈(π6，π2)．从而△ABC的面积S=12bcsinA=33sinB⋅sin(23π−B)=33sinB⋅(12sinB+32cosB)=33(12sin2B+32sinB⋅cosB)=33(1−cos2B4+34sin2B)=36(32sin2B−12cos2B)+312=36sin(2B−π6)+312，又B∈(π6，π2)，2B−π6∈(π6，5π6)，所以sin(2B−π6)∈(12，1]，从而△ABC的面积的取值范围为(36，34]

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