题目

如图所示，在三棱柱 中， 为等边三角形， ， ， 平面 ， 是线段 上靠近 的三等分点. （1） 求证： ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：因为 ∠BAB1=∠BB1A ，故 AB=BB1 ， 所以四边形 A1ABB1 为菱形， 而 CO⊥ 平面 ABB1A1 ，故 ∠COA=∠COB=90° . 因为 CO=CO,CA=CB ，故 ΔCOA≌ΔCOB ， 故 AO=BO ，即四边形 ABB1A1 为正方形，故 AB⊥AA1 解：依题意， CO⊥OA,CO⊥OA1 .在正方形 A1ABB1 中， OA1⊥OA ， 故以 O 为原点， OA1,OA,OC 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ； 如图所示： 不纺设 AB=2 ， 则 O(0,0,0),A1(2,0,0),A(0,2,0),C(0,0,2),C1(2,−2,2) ， 又因为 OD→=OA1→+13A1C1→ ，所以 D(2,−23,23) . 所以 A1A→=(−2,2,0),AC→=(0,−2,2) . 设平面 A1ACC1 的法向量为 m→=(x,y,z) ， 则 {m⇀⋅AA1=0,m⇀⋅AC⇀=0. ， 即 {−2x+2y=0,−2y+2z=0. ， 令 x=1 ，则 y=1,z=1 .于是 m→=(1,1,1) . 又因为 OD→=(2,−23,23) ， 设直线 OD 与平面 A1ACC1 所成角为 θ ， 则 sinθ=|cos〈m→,OD→〉|=|m→⋅OD→||m→||OD→|=3311 ， 所以直线 OD 与平面 A1ACC1 所成角的正弦值为 3311

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