题目

已知函数 ， 其中 ． （1） 求函数的单调区间； （2） 讨论函数的零点的个数． 答案： 解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1x−a(x+1)2=x2+(2−a)x+1x(x+1)2，在一元二次方程x2+(2−a)x+1=0中，Δ=(2−a)2−4=a2−4a=a(a−4)，①当a<0时，f'(x)≥0恒成立，此时函数f(x)单调递增，增区间为(0，+∞)，没有减区间；②当0≤a≤4时，f'(x)≥0恒成立，此时函数f(x)单调递增，增区间为(0，+∞)，没有减区间；③当a>4时，一元二次方程x2+(2−a)x+1=0有两个不相等的根，分别记为x1，x2(x2>x1)，有x1+x2=a−2，x1x2=1>0，可得x2>x1>0，有x1=a−2−a2−4a2，x2=a−2+a2−4a2，可得此时函数f(x)的增区间为(0，x1)，(x2，+∞)，减区间为(x1，x2)，综上可知，当a≤4时，函数f(x)的增区间为(0，+∞)，没有减区间；当a>4时，函数f(x)的增区间为(0，a−2−a2−4a2)，(a−2+a2−4a2，+∞)，减区间为(a−2−a2−4a2，a−2+a2−4a2)； 解：由（1）可知：①当a≤4时，函数f(x)单调递增，又由f(1)=0，可得此时函数只有一个零点为x=1；②当a>4时，由x1x2=1>0，x2>x1，可得0<x1<1<x2，又由f(1)=0，由函数的单调性可知f(x1)>f(1)=0，f(x2)<f(1)=0，当0<x<1且0<x<e−a2时，可得lnx<lne−a2，有lnx+a2<0，可得f(x)<lnx+a−a2=lnx+a2<0，当x>ea2时，f(x)>lnx−a2>lnea2−a2=a2−a2=0可知此时函数f(x)有且仅有3个零点，由上知，当a≤4时，函数f(x)有且仅有一个零点；当a>4时，函数f(x)有且仅有3个零点．

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