题目

双曲线的左顶点为 ， 焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． （1） 求双曲线的方程； （2） 、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、 ， 若 ， 求点到直线的距离的取值范围． 答案： 解：依题意，∠BAD=90∘，焦半径c=2，由AF=BF，得a+c=b2a，得a2+2a=22−a2，解得：a=1（其中a=−2<0舍去），所以b2=c2−a2=4−1=3，故双曲线C的方程为x2−y23=1； 解：显然直线MN不可能与轴平行，故可设直线MN的方程为x=my+n，联立{x=my+n3x2−y2=3，消去x整理得(3m2−1)y2+6mny+3(n2−1)=0，在条件{3m2−1≠0Δ>0下，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=−6mn3m2−1，y1y2=3(n2−1)3m2−1，由k1k2=−2，得y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0，即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0，整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0，代入韦达定理得，3(n2−1)(2m2+1)−12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2−1)=0，化简可消去所有的含m的项，解得：n=5或n=−1（舍去），则直线MN的方程为x−my−5=0，得d=6m2+1，又M，N都在双曲线的右支上，故有3m2−1<0，0≤m2<13，此时1≤m2+1<23，d=6m2+1∈(33，6]，所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(33，6].

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