题目

已知函数 . （1） 设 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由； （2） 设函数 ，对任意 ，求 在区间 上零点个数的所有可能值。 答案： 解：因为 f(x)=sinx ，所以 g(x)=a⋅f(x)+f(x+π2)=asinx+sin(x+π2)=asinx+cosx ， x∈R ； 当 a=0 时， g(x)=cosx ，所以 g(−x)=cos(−x)=cosx ，所以 g(x) 为偶函数； 当 a≠0 时， g(x)=asinx+cosx ，所以 g(−x)=−asinx+cosx ，因此 g(x) 为非奇非偶函数； 综上：当 a=0 时， g(x) 为偶函数；当 a≠0 时， g(x) 为非奇非偶函数 解：因为 F(x)=2f(x)−3=2sinx−3 ， 所以区间 [b,b+10π] 恰好含 F(x) 的5个周期， 因此，根据正弦函数的性质可知： 当 b 是零点时， b+10π 也是零点，所以在区间 [b,b+10π] 上有11个零点； 当 b 不是零点时， b+10π 也不是零点，所以在区间 [b,b+10π] 上有10个零点； 综上， y=F(x) 在区间 [b,b+10π] 上零点个数的所有可能值为10或11.

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