题目

已知矩阵M=的两个特征值分别为λ1=﹣1和λ2=4， （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x﹣2y﹣3=0，求直线l的方程． 答案：解：（Ⅰ）矩阵M的特征多项式f（λ）=λ-2-a-2λ-b=（λ﹣2）（λ﹣b）﹣2a， 又∵矩阵M的两个特征值分别为λ1=﹣1和λ2=4， ∴f（﹣1）=0，f（4）=0， ∴2a-3b=3a+b=4， 解得a=3，b=1； （Ⅱ）设P（x，y）是直线l上任意一点，它在矩阵M对应的变换下变为点P′（x′，y′）， 则2321xy=x'y'， 即 2x+3y=x'2x+y=y'； ∵点P′（x′，y′）在直线l′：x﹣2y﹣3=0上， ∴x′﹣2y′﹣3=0， 把x′，y′代入得：2x﹣y+3=0． 故所求直线l的方程为：2x﹣y+3=0．

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