题目

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于点A和B（4，0），与y轴交于点C ， 对称轴为直线x＝ ． （1） 求抛物线的表达式； （2） 如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q ， 连接OQ ， 当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由； （3） 如图2，在（2）的条件下，点D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E ， 且∠DQE＝2∠ODQ ． 在y轴上是否存在点F ， 使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：由题意得 {a+b+4=0−b2a=52 解得 {a=1b=−5 故抛物线的表达式为y＝x2－5x＋4． 解：四边形OCPQ为平行四边形． 理由如下：令y＝x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4． 令x＝0，则y＝4， ∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4）． 设直线BC的表达式为y＝kx＋t，则 {t=44k+t=0 解得 {k=−1t=4 故直线BC的表达式为y＝－x＋4． 设点P的坐标为（x，－x＋4），则点Q的坐标为（x，x2－5x＋4）， 则PQ＝（－x＋4）－（x2－5x＋4）＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4． ∵－1＜0， ∴PQ有最大值，当x＝2时，PQ最大＝4＝CO， 此时点Q的坐标为（2，－2）． ∵PQ＝CO，PQ//OC， ∴四边形OCPQ为平行四边形． 解：存在． ∵点D是OC的中点，则点D的坐标为（0，2）． 由点D，Q的坐标可得直线DQ的表达式为y＝－2x＋2． 如图，过点Q作QH⊥x轴于点H， 则QH//CO，故∠AQH＝∠ODA． ∵∠DQE＝2∠ODQ， ∴∠HQA＝∠HQE， 则直线DQ和直线QE关于直线QH对称， ∴点D关于直线QH的对称点（4，2）在直线QE上， 故设直线QE的表达式为y＝kx＋r． 将点（2，-2）（4，2）的坐标代入上式并解得k=2，r＝－6， 故直线QE的表达式为y＝2x－6， 联立直线QE和抛物线解析式并解得 {x=5y=4 （不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为（5，4）． 设点F的坐标为（0，m），由点B，E的坐标得BE2＝（5－4）2＋（4－0）2＝17，同理可得，当BE＝BF时，即17＝16＋m2，解得m＝±1； 当BE＝EF时，即17＝25＋（m－4）2，方程无解； 当BF＝EF时，即16＋m2＝25＋（m－4）2，解得m＝ 258 ． 故点F的坐标为（0，1）或（0，－1）或（0， 258 ）．

查看本题答案和解析