题目

在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题： （1） 如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝（直接写出结果）． （2） 连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线． ①如图②，如果∠AOB＝110°，求∠COD的度数． ②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由． 答案： 【1】180° 解：①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线， ∴∠OAB= 12 ∠DAB， ∠OBA= 12 ∠CBA， ∠OCD= 12 ∠BCD，∠ODC= 12 ∠ADC， ∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝ 12 ×360°＝180°， 在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB， 在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD， ∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝180°； ∵∠AOB＝110°， ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°． 故答案为：70°； ②AB∥CD，理由如下： ∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线， ∴∠OAB= 12 ∠DAB， ∠OBA= 12 ∠CBA， ∠OCD= 12 ∠BCD，∠ODC= 12 ∠ADC， ∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝ 12 ×360°＝180°， 在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB， 在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD， ∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝180°； ∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°． 在∠AOD中，∠OAD+∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°， ∵∠DAO= 12 ∠DAB， ∠ADO= 12 ∠ADC， ∴ 12 ∠DAB+ 12 ∠ADC=90°， ∴∠DAB+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD．

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