题目

在中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， ， . （1） 求角A； （2） 作角A的平分线与交于点 ， 且 ， 求. 答案： 解：因asinB=bsin(A+π3)，由正弦定理可得：sinB(12sinA+32cosA)−sinAsinB=0，即sinB(32cosA−12sinA)=0.因B∈(0，π)，故sinB≠0，则有32cosA=12sinA，即tanA=3，因A∈(0，π)，故A=π3. 解：因为AD为角平分线，所以S△DAB+S△DAC=S△ABC，所以12AB⋅ADsin∠DAB+12AC⋅ADsin∠DAC=12AB⋅ACsin∠BAC.因∠BAC=π3，∠DAB=∠DAC=π6，AD=3，则34AB+34AC=34AB⋅AC，即AB+AC=AB⋅AC，所以b+c=cb.又由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosπ3=(b+c)2−3bc，把a=32，b+c=cb分别代入化简得：(b+c)2−3(b+c)−18=0，解得：b+c=6或b+c=−3（舍去），所以b+c=6.

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