题目

已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1） 讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2） 证明： ； （3） 设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ . 答案： 解：由函数的解析式可得： f(x)=2sin3xcosx ，则： f'(x)=2(3sin2xcos2x−sin4x) =2sin2x(3cos2x−sin2x) =2sin2x(4cos2x−1) =2sin2x(2cosx+1)(2cosx−1) ， f'(x)=0 在 x∈(0,π) 上的根为： x1=π3,x2=2π3 ， 当 x∈(0,π3) 时， f'(x)>0,f(x) 单调递增， 当 x∈(π3,2π3) 时， f'(x)<0,f(x) 单调递减， 当 x∈(2π3,π) 时， f'(x)>0,f(x) 单调递增. 解：注意到 f(x+π)=sin2(x+π)sin[2(x+π)]=sin2xsin2x=f(x) ， 故函数 f(x) 是周期为 π 的函数， 结合(1)的结论，计算可得： f(0)=f(π)=0 ， f(π3)=(32)2×32=338 ， f(2π3)=(32)2×(−32)=−338 ， 据此可得： [f(x)]max=338 ， [f(x)]min=−338 ， 即 |f(x)|≤338 . 解：结合(2)的结论有： sin2xsin22xsin24x⋯sin22nx =[sin3xsin32xsin34x⋯sin32nx]23 =[sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)⋯(sin22n−1xsin2nx)sin22nx]23 ≤[sinx×338×338×⋯×338×sin22nx]23 ≤[(338)n]23 =(34)n .

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