题目

如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF， BC的中点． （1）求证：MN∥平面CDEF； （2）求多面体A﹣CDEF的体积； （3）求证：CE⊥AF． 答案：【考点】直线与平面平行的判定；由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（1）由多面体AEDBFC的三视图知，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形，由三角形中位线的性质得：MN∥EC，从而证得MN∥平面CDEF． （2）先证四边形CDEF是矩形，利用面面垂直的性质证明并求出棱锥的高，代入体积公式计算棱锥的体积． （3）由BC⊥平面ABEF，证明BC⊥AF，面ABFE是正方形，证得EB⊥AF，进而AF⊥面BCE，结论得证． 【解答】证明：（1）：由多面体AEDBFC的三视图知， 三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰直 角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF， 侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形． 连接EB，则M是EB的中点， 在△EBC中，MN∥EC， 且EC⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF， ∴MN∥平面CDEF． （2）因为DA⊥平面ABEF，EF⊂平面ABEF，∴EF⊥AD， 又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE， ∴四边形CDEF是矩形， 且侧面CDEF⊥平面DAE 取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴， 且AH⊥平面CDEF． 所以多面体A﹣CDEF的体积． （3）∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC， ∴BC⊥平面ABEF， ∴BC⊥AF， ∵面ABFE是正方形， ∴EB⊥AF， ∴AF⊥面BCE， ∴CE⊥AF． 【点评】本题考查线面平行、垂直的判定和性质，利用三视图求面积和体积． 　

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