题目

已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程； （Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值． 答案：解：（Ⅰ）因为 f(x)=12−x2 ，所以 f′(x)=−2x ， 设切点为 (x0,12−x0) ，则 −2x0=−2 ，即 x0=1 ，所以切点为 (1,11) ， 由点斜式可得切线方程为： y−11=−2(x−1) ，即 2x+y−13=0 . （Ⅱ）显然 t≠0 ， 因为 y=f(x) 在点 (t,12−t2) 处的切线方程为： y−(12−t2)=−2t(x−t) ， 令 x=0 ，得 y=t2+12 ，令 y=0 ，得 x=t2+122t ， 所以 S(t)= 12×(t2+12)⋅t2+122|t| ， 不妨设 t>0 (t<0 时，结果一样 ) ， 则 S(t)=t4+24t2+1444t=14(t3+24t+144t) ， 所以 S′(t)= 14(3t2+24−144t2)=3(t4+8t2−48)4t2 =3(t2−4)(t2+12)4t2=3(t−2)(t+2)(t2+12)4t2 ， 由 S′(t)>0 ，得 t>2 ，由 S′(t)<0 ，得 0<t<2 ， 所以 S(t) 在 (0,2) 上递减，在 (2,+∞) 上递增， 所以 t=2 时， S(t) 取得极小值， 也是最小值为 S(2)=16×168=32 .

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