题目

已知函数 . （1） 若 存在一正，一负两个零点，求实数 的取值范围； （2） 若 在区间 上是减函数，求 在[1，a]上的最大值. 答案： 解：若存在一正､一负两个零点，则 Δ=4(a−1)2−4(a2−2)>0 ， a2−2<0 ， 解得 −2 < a < 2 ，∴ a 的取值范围为( −2，2 ). 解：若 f(x) 在区间 (−∞，2] 上是减函数，则对称轴 x=a−1≥2 ，解得 a≥3 ， 当 x∈[1，a−1] 时，函数 f(x) 单调递减，当 x∈[a−1，a] 时，函数 f(x) 单调递増， 且 f(1)=a2−2a+1，f(a)=2(a−1) ， ∴ f(1)−f(a) = a2−2a+1−2(a−1)=a2−4a+3=(a−2)2−1 ， ∵ a≥3 ，∴ f(1)−f(a)≥0 . 故 f(x) 在[1，a]上的最大值为 a2−2a+1 .

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