题目

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半径． 答案：（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）先根据圆的性质得：，由垂径定理可得：OP⊥AB，根据平行线可得：OP⊥PD，所以PD是⊙O的切线； （2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设CG=x，BG=2x，利用勾股定理计算x=，设AC=a，则AB=a，AG=﹣a，在Rt△ACG中，由勾股定理列方程可得a的值，同理设⊙O的半径为r，同理列方程可得r的值． 【详解】 解：（1）如图1，连接OP， ∵PA=PB， ∴， ∴OP⊥AB， ∵PD∥AB， ∴OP⊥PD， ∴PD是⊙O的切线； （2）如图2，过C作CG⊥BA，交BA的延长线于G， Rt△BCG中，tan∠ABC=， 设CG=x，BG=2x， ∴BC=x， ∵BC=8，即x=8， x=， AC=a，则AB=a，AG=﹣a， 在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2， ∴ (﹣a)2+()2=a2， a=2， ∴AB=2，BE=， Rt△BEP中，同理可得：PE=， 设⊙O的半径为r，则OB=r，OE=r﹣， 由勾股定理得：r2=(r-)2+()2， r=， 答：⊙O的半径是． 【点睛】 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数和勾股定理的计算等，综合性较强，熟练应用勾股定理是解决本题的关键.

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