题目

半圆 的直径的两端点为 ,点 在半圆 及直径 上运动,若将点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点 ,记点 的轨迹为曲线 . （1） 求曲线 的方程; （2） 若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线 的“直径”. 答案： 解：设 Q(x,y) ,则 P(x,y2) , 由题意可知当 P 在直径 AB 上时,显然 y=0(−1<x<1) ; 当 P 在半圆 O 上时, x2+(y2)2=1(y≥0) , ∴  曲线 C 的方程为 y=0(−1<x<1) 或 x2+y24=1(y≥0) 解：设曲线 C 上两动点 G(x,y),H(x0,y0) , 显然 G , H 至少有一点在椭圆上时 GH 才能取得最大, 不妨设 y≥y0≥0 , 则 |GH|2=(x−x0)2+(y−y0)2≤(x−x0)2+y2=(x−x0)2+4(1−x2) , ∵(x−x0)2+4(1−x2)=−3x2−2x0x+x02+4 =−3(x+x03)2+4x023+4≤4x023+4≤43+4=163 ∴|GH|2≤163 等号成立时: G(423,13) , H(−1,0) 或 G(−423,13) , H(1,0) , 由两点距离公式可得: |GH|max=433 , 故曲线 C 的“直径”为 433

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