题目

如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH. （1） 求证：四边形EHFG是平行四边形； （2） 已知：AB＝2 ，EB＝4，tan∠GEH＝2 ，求四边形EHFG的周长. 答案： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∵DF∥BE， ∴∠CFD＝∠BEA， ∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ∵ {∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∵BH＝DG， ∴BE+BH＝DF+DG， 即EH＝GF， ∵EH∥GF， ∴四边形EHFG是平行四边形； 解：如图，连接BD，交EF于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC， ∴∠AOB＝90°， ∵AB＝2 2 ， ∴OA＝OB＝2， Rt△BOE中，EB＝4， ∴∠OEB＝30°， ∴EO＝2 3 ， ∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF， ∵DF∥EB， ∴∠DFC＝∠BEA， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴OF＝OE＝2 3 ， ∴EF＝4 3 ， ∴FM＝2 3 ，EM＝6， 过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M， ∵EG∥FH， ∴∠FHM＝∠GEH， ∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝ FMHM ＝2 3 ， ∴ 23HM=23 ， ∴HM＝1， ∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝ FM2+HM2 ＝ (23)2+12 ＝ 13 ， ∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2 13 ＝10+2 13 .

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