题目

如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点. （1） 求∠COD的度数； （2） 如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数. 答案： 解：∵点O在直线AB上， ∴∠AOC+∠BOC=180°， ∵∠BOC＝2∠AOC， ∴∠BOC=120°，∠AOC=60°， ∵∠MON=90°，点D在射线ON的反向延长线上， ∴∠BOD=90° ∴∠COD=∠BOC-∠BOD=30°； 解：由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°， ∴当 α=0° 时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，而 0°<α<180° ， ∴OC不能分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2， ∴若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示： 当∠AOD=2∠COD时，则有 ∠AOD=23∠AOC=40° ， ∵∠AOD=∠BON， ∴∠BON=40°； 当∠COD=2∠AOD时，则有 ∠AOD=13∠AOC=20° ， ∴∠BON=∠AOD=20°； 若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示： 当∠AOD=2∠AOC时，则有 ∠AOD=2∠AOC=120° ， ∴ α=90°+∠AOD=210° ，（不符合题意，舍去）， 当∠AOC=2∠AOD时，则有∠AOD=30°， ∴ α=90°+∠AOD=120° ， ∴∠BON=∠AOD=30°； 综上所述：若三条射线OA、OC、OD，当其中一条射线分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，∠BON的度数为40°或20°或30°.

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