题目

已知函数f（x）= x3-x2+x.（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值. 答案：解（I） f'(x)=34x2−2x+1 ，令 f'(x)=1 ，则 x1=0,x2=83 ，因为 f(0)=0,f(83)=827 ，故斜率为1的直线为y=x或 y−827=x−83 ，整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或 x−y−6427=0 ；（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6，则 g'(x)=34x2−2x ，令 g'(x)=0 ，则 x1=0,x2=83 ，故g（x）在[-2,0]上单调递增，在 [0,83] 上单调递减，在 [83,4] 上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或 g(83) ，而g（-2）=0， g(83)=9827>0 ，故 [g(x)]min=g(−2)=0 ，所以 g(x)≥0 ，故在[-2,4]上， x−6≤f(x) ；构造函数h（x）=f（x）-x，则 h'(x)=34x2−2x ，令 h'(x)=0 ，则 x1=0,x2=83 ，故h（x）在[-2,0]上单调递增，在 [0,83] 上单调递减，在 [83,4] 上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h（4），因为h（0）=0，h（4）=0，所以 h(x)≤0 ，故在[-2,4]上， f(x)≤x ，综上在[-2,4]上， x−6≤f(x)≤x ；（Ⅲ）令 φ(x)=f(x)−(x+a)=14x3−x2−a ，则 φ'(x)=34x2−2x ，令 φ'(x)=0 ，则 x1=0,x2=83 ，故 φ （x）在[-2,0]上单调递增，在 [0,83] 上单调递减，在 [83,4] 上单调递增，所以 φ （x）的最小值为 φ （-2）=-6-a或 φ(83)=−6427−a ，最大值为 φ （0）=-a或 φ （4）=12-a，故 F(x)=|φ(x)| 其最大值 M(a)={12−a,a≤3a+6,a>3 ，故当a=3时，M（a）有最小值9.

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