题目

如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F. （1） 求证：四边形DEBF为平行四边形； （2） 若 ， ， ， 求的面积. 答案： 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，{∠AED=∠CFB=90°∠DAE=∠BCFAD=CB，∴△ADE≅△CBF(AAS)，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形DEBF为平行四边形； 解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=20，AC=21，∴CD=AB=20，OA=12AC=212，∵DE⊥AC，AD=13，∴AD2−AE2=DE2=CD2−CE2，即132−AE2=202−CE2，∴(CE+AE)(CE−AE)=231，即AC(CE−AE)=231，∴CE−AE=231AC=11①，又∵CE+AE=AC=21②，∴联立①、②得：AE=5，∴OE=OA−AE=112，DE=AD2−AE2=12，则△DOE的面积为12OE⋅DE=12×112×12=33.

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