题目

如图，椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为 ． （I）求椭圆E的方程；（II）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 答案：解：（Ⅰ）由题意知 ca=22 ，b=1，结合a2=b2+c2，解得 a=2 ， ∴椭圆的方程为 x22+y2=1 ；（Ⅱ）由题设知，直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1 （k≠2），代入 x22+y2=1 ，得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，由已知△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，则 x1+x2=4k(k−1)1+2k2 ， x1x2=2k(k−2)1+2k2 ，从而直线AP与AQ的斜率之和： kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2−kx1+kx2+2−kx2 = 2k+(2−k)(1x1+1x2)=2k+(2−k)x1+x2x1x2 = 2k+(2−k)4k(k−1)2k(k−2)=2k−2(k−1)=2

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