题目

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，顶点C，D都在第一象限内，OA、OB的长分别为4和3。 （1） 求点D的坐标； （2） 求直线BC的解析式； （3） 在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 答案： 解：如图，过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，过点D作y轴的垂线DF，垂足为F ∵四边形ABCD是正方形。 ∴AD=AB，∠DA8=90° ∵∠DAF+∠OAB=90°，∠ABD+∠OAB=90° ∴∠DAF=∠ABO ∵∠AFD=∠BOA=90° ∴△DAF≌△ABO(AAS) ∴DF=OA=4，AF=OB=3 ∴OF=OA+AF=7 ∴，点D的坐标为(4，7) 解：同理可证△BCE≌△ABO(AAS) ∴CE=OB=3，BE=OA=4 ∴OE=OB+BE=7 ∴，点C的坐标为（7，3） 设直线BC的解析式为y=kx+b，依题意得 {7k+b=33k+b=0 ，解得 {k=34b=−94 ∴，直线BC的解析式为y= 34x−94  (或y=0.75x-2.25) 解：存住点P，使△PCD为等腰三角形，点P的坐标为(3，0)，(11，6) 理由如下， 当点P与点B重合时，点P（3，0）； BC=PC ∵点C（7，3），点B（3，0） ∴BE=7-3=4，CE=3 当点P与点B关于点C对称时， ∴CE∥BH ∴BE=EH， ∴CE是△PBH的中位线， ∴PH=2CE=6， OH=3+4+4=11, ∴点P（11，6） ∴点P的坐标为（11，6），（3，0）.

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