题目

为研究“在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率的和”这个课题，我们可以分三步进行研究：（I）取特殊事件进行研究；（Ⅱ）观察分析上述结果得到研究结论；（Ⅲ）试证明你得到的结论．现在，请你完成： （1） 抛掷硬币4次，设P0 ， P1 ， P2 ， P3 ， P4分别表示正面向上次数为0次，1次，2次，3次，4次的概率，求P0 ， P1 ， P2 ， P3 ， P4（用分数表示），并求P0+P1+P2+P3+P4； （2） 抛掷一颗骰子三次，设P0 ， P1 ， P2 ， P3分别表示向上一面点数是3恰好出现0次，1次，2次，3次的概率，求P0 ， P1 ， P2 ， P3（用分数表示），并求P0+P1+P2+P3； （3） 由（1）、（2）写出结论，并对得到的结论给予解释或给予证明． 答案： 解：用Ai（i=1，2，3，4）表示第i次抛掷硬币掷得正面向上的事件，则Ai发生的次数X，服从二项分布，即X∽ B(4，12) ，∴ Pi=C4i(12)i(12)4−i=C4i(12)4(i=0，1，2，3，4) ，所以 P0=116，P1=14，P2=38，P3=14，P4=116 ，P0+P1+P2+P3+P4=1 解：用Ai（i=1，2，3）表示第i次抛掷骰子掷得向上一面点数是3的事件，则Ai发生的次数X服从二项分布，即X∽ B(3，16) ， ∴ Pi=C3i(16)i(56)3−i(i=0，1，2，3) ，所以 P0=125216，P1=2572，P2=572，P3=1216 ，∴P0+P1+P2+P3=1 解：在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和为1． 证明：在n次独立重复试验中，事件A每一次发生的概率为p，则X∽B（n，p），∴ Pi=Cnipi(1−p)n−i ，∴ ∑i=0npi=∑i=1nCnipi(1−p)n−i=[(1−p)+p]n=1 ．或这样解释：A1∪A2∪…∪Ai∪…∪An是必然事件，所以，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和为1．

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