题目

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(12,0),B(8,6),C(0,6)．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ =y． （1） 直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：； （2） 当PQ=3 时，求t的值； （3） 连接OB交PQ于点D，若双曲线 经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由． 答案： 【1】y=25t2−80t+100(0≤t≤4) 解：当 PQ=35 时， 25t2−80t+100=(35)2 ， 整理，得： 5t2−16t+11=0 ， 解得： t1=1,t2=115 ． 解：经过点 D 的双曲线 y=kx(k≠0) 的 k 值不变． 连接 OB ，交 PQ 于点 D ，过点 D 作 DF⊥OA 于点 F ，如图2所示． ∵OC=6 ， BC=8 ， ∴OB=OC2+BC2=10 ． ∵BQ//OP ， ∴△BDQ∼△ODP ， ∴BDOD=BQOP=2t3t=23 ， ∴OD=6 ． ∵CB//OA ， ∴∠DOF=∠OBC ． 在 Rt△OBC 中， sin∠OBC=OCOB=610=34 ， cos∠OBC=BCOB=810=45 ， ∴OF=OD·cos∠OBC=6×45=245 ， DF=OD·sin∠OBC=6×35=185 ， ∴ 点 D 的坐标为 (245,,185) ， ∴ 经过点 D 的双曲线 y=kx(k≠0) 的 k 值为 245×185=43225 ．

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