题目

已知函数. （I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值； （II）当时，若函数在区间上的最小值为，求的值； （III）讨论函数零点的个数. 答案：解：（I），   …………1分 因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以， 即，解得.所以，       …………2分 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增；…3分 当时，取得极小值. 极小值为.  ………4分 (II)当时，在（1，3）上恒成立，这时在[1，3]上为增函数 ,    令 ，得（舍去）,……5分   当时，由得，, 若，有在上为减函数， 若有在上为增函数， ，令，得  ……7分 当时，在（1，3）上恒成立，这时在上为减函数， ∴.令 得（舍去）  综上知,.    ……9分 (III)函数 令，得，   设 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点， 的最大值为.   ……11分 又，结合y=的图像（如图），可知 ①     当时，函数无零点； ②当时，函数有且仅有一个零点； ③当时，函数有两个零点； ④时，函数有且只有一个零点；  ………13分 综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.    ……14分

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