题目

如图1，在平面直角坐标系 中，已知四边形 的顶点 ， 分别在 轴和 轴上.直线 经过点 ，与 轴交于点 .已知 ， ， . 平分 ，交 于点 ，点 是线段 上一动点. （1） 求 的长和 的度数； （2） 若点 是平面内任意一点，当以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形时，求点 的坐标； （3） 如图2，在线段 上有一动点 ，点 与点 分别同时从点 和点 出发，已知当点 从点 匀速运动至点 时，点 恰好从点 匀速运动至点 ，连结 、 、 .问：在运动过程中，是否存在这样的点 和点 ，使得 的面积与 的面积相等.若存在，请直接写出相应的点 的坐标，若不存在，请说明理由. 答案： 解：令 x=0 ， y=6 ；令 y=0 ， x=63 . ∴OA=6 ， OE=63 . 由勾股定理得， AE=12 . ∵AO=12AE ， ∠AOE=90° ， ∴∠AEO=30° 解：可以考虑 ΔPEC 为等腰三角形. 过点 G 作 GK⊥x 轴于点 K 情形①（如图1） PE=PC 时，点 G 在直线 AE 上. ∵ 四边形 PEGC 是菱形， PG 与 EC 互相垂直平分，设 PG 与 EC 交点为 K ∴OK=OE+12EC=63+23=83 ， ∵∠PCK=30° ， CK=12EC=23 设 PC =2a （ a>0 ），则 PK=a 根据勾股定理： PC2=PK2+CK2 (2a)2=a2+(23)2 解得： a=2 ∴PC=2 ∴ KG=12PG=12PC=2 . ∴G(83，−2) . 情形②（如图2） PE=CE 时，此时点 G 在 CD 上. ∵∠PEC=120° ， ∴∠PEK=60° ， ∠EPK=30° ∴EK=12PE=23 ， PK=PE2−KE2=3EK=6 . ∴P(43−6) . ∴G(83，6) . 情形③（如图3） PC=CE 时，此时点 G 在 AE 上且 GE=43 . ∵∠GEK=30° ∴GK=12GE=23 ， KE=GE2−GK2=3GK=6 . ∴G(63−6，23) . 解：过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N ，延长 PE 交 y 轴于点 M ， ∵OE=63，EC=43 ， ∴OM=12MC 设 OM=x （ x>0 ），则 MC=2x ∵MC2=OM2+OC2 ∴(2x)2=x2+(103)2 解得： x=10 ∴MC=20 ∵∠D=90°，∠DCF=30° ∴∠AFM=∠DFC=60° 又 ∵ ∠DAM=60° ∴△MAF 是等边三角形 ∴ AM=AF=FM=OM−OA=10−6=4 ∴FC=20−4=16 ∵AE=2OA=12 ∵ ∠OAD=120°，∠D=90° ∴∠DCO=60° ， ∠DAM=60° ∵ CF 平分 ∠OCD ∴∠MCO=30° ∵∠AEO=30° ∴AE//MC ∵PN//y 轴 ∴∠MPN=∠MCO=30° 由题意， AEVQ=FCVP ，则 12VQ=16VP ， 设 Q 的运动速度为 3v ，则 P 的运动速度为 4v ，运动时间为 t 则 AP=3vt，CP=4vt ①当 PQ//AD 时，如图所示， S△PFQ=S△PDQ ∵MC//AE ∴ 四边形 AQPF 是平行四边形 ∴ FP=AQ 即 FC−4vt=3vt vt=167 MP=MC−PC=20−4vt ∵∠MPN=30°，PN⊥y 轴 MN=12MP=10−2vt ON=OM−MN=2vt=327 PN=PM2−MN2=3MN=3(10−2vt)=3837 ∴P(3837，327) ②当 F，D 到 PQ 的距离相等时， S△PFQ=S△PDQ 如图，分别过 P，Q 作 PR⊥AD，QS⊥AD ，过 E 作 ET⊥MC 于点 T ∵∠MCO=30° ∴ET=12EC =43×12=23 由（1）知 ∠AEO=30° ∴∠OAE=60° ∵∠DAE=180°−∠MAD−∠OAE=60° ∴∠AQS=30° ∴AS=12AQ ∴SQ=AQ2+AS2=3AS2=3AS=32AQ 同理 ∠RPF=30° ， PR=32PF ∵∠DCF=30°，∠D=90° ∴FD=12FC=12×16=8 当 F，D 到 PQ 的距离相等时， S△PFQ=S△PDQ ∴ S△PFQ=S△PDQ=12(S△FQD−S△PDF) ∵S△PQF=12PF⋅ET =3PF=3(16−4vt) 12(S△FQD−S△PDF) =12(12FD⋅SQ−12FD⋅PR) =14FD×32(AQ−PF) =3(3vt−16+4vt) =3(7vt−16) ∴3(16−4vt)=3(7vt−16) 解得： vt=3211 MP=MC−PC=20−4vt ∵∠MPN=30°，PN⊥y 轴 MN=12MP=10−2vt ON=OM−MN=2vt=6411 PN=PM2−MN2=3MN=3(10−2vt)=46113 ∴P(46113，6411) 综合①②可知点 P 的坐标为： P(3837，327) 或者 P(46113，6411) ∴ 存在两个这样的点 P ， P1(3873，327) 和 P2(46113，6411)

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