题目

已知函数 ， . （1） 若函数 恰有一个极值点，求实数a的取值范围； （2） 当 ，且 时，证明： .（常数 是自然对数的底数）. 答案： 解： ∵f(x)=x2−axlnx ， (x>0) ， ∴f'(x)=2x−a(lnx+1) ， ∵ 函数 f(x) 恰有一个极值点， ∴ 方程 2x−a(lnx+1)=0 在 (0,+∞) 恰有一个变号零点． ∴2a=lnx+1x 在 (0,+∞) 恰有一个变号零点． 令 g(x)=lnx+1x ，则 g'(x)=−lnxx2 ． 可得 x∈(0,1) 时， g'(x)>0 ，函数 g(x) 单调递增， x∈(1,+∞) 时， g'(x)<0 ，函数 g(x) 单调递减． 函数 g(x) 草图如下， 可得 2a<0 ， ∴a<0 ． ∴ 实数a的取值范围为 (−∞,0) 要证明： f(x)x≤g(x)⇔ 证明 x−alnx≤(1−ae)x ． ⇔ 证明 alnx≥aex ，即证明 lnx≤xe ． 令 h(x)=lnx−xe. 则 h'(x)=1x−1e=e−xex ， x∈(0,e) 时， h'(x)>0 ，函数 h(x) 递增， x∈(e,+∞) 时， h'(x)<0 ， h(x) 递减． ∴h(x)≤h(e)=0 ，即原不等式成立． 要证明 g(x)<exx ，即证明 exx2>1−ae ． ∵a∈(−1,0) ， ∴1−ae<1+1e 故只需证明 exx2≥1+1e 即可． 令 G(x)=exx2 ，则 G'(x)=ex(x−2)x3 ． x∈(0,2) 时， G'(x)<0 ，函数 G(x) 递减， x∈(2,+∞) 时， G'(x)>0 ，函数 G(x) 递增． ∴G(x)≥G(2)=e24 ∴e2x2≥e24 ， 又 e24>1+1e ， 故原不等式成立． 综上， f(x)x≤g(x)<exx ，

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