题目

已知函数 ， . （Ⅰ）求函数 的极值； （Ⅱ）若实数 为整数，且对任意的 时，都有 恒成立，求实数 的最小值. 答案：解：(Ⅰ)设 φ(x)=f(x)−g(x)=lnx−x2−x+1 ， ∴ φ′(x)=1x−2x−1=−(2x−1)(x+1)x ， 令 φ′(x)>0 ，则 0<x<12 ； φ′(x)<0 ，则 x>12 ； ∴ φ(x) 在 (0,12) 上单调递增， (12,+∞) 上单调递减， ∴ φ(x)极大=φ(12)=14−ln2 ，无极小值. (Ⅱ)由 f(x)−mg(x)≤0 ，即 lnx+x+1−m(x2+2x)≤0 在 (0,+∞) 上恒成立， ∴ m≥lnx+x+1x2+2x 在 (0,+∞) 上恒成立， 设 h(x)=lnx+x+1x2+2x ，则 h′(x)=−(x+1)(x+2lnx)(x2+2x)2 ， 显然 x+1>0 ， (x2+2x)2>0 设 t(x)=−(x+2lnx) ，则 t′(x)=−(1+2x)<0 ，故 t(x) 在 (0,+∞) 上单调递减 由 t(1)=−1<0 ， t(12)=−(12+2ln12)=2ln2−12>0 ， 由零点定理得 ∃x0∈(12,1) ，使得 t(x0)=0 ，即 x0+2lnx0=0 且 x∈(0,x0) 时， t(x)>0 ，则 h′(x)>0 ， x∈(x0,+∞) 时， t(x)<0 . 则 h′(x)<0 ∴ h(x) 在 (0,x0) 上单调递增，在 (x0,+∞) 上单调递减 ∴ h(x)max=h(x0)=lnx0+x0+1x02+2x0 ， 又由 x0+2lnx0=0 ， x0∈(12,1) ，则 h(x0)=lnx0+x0+1x02+2x0=12x0∈(12,1) ∴由 m≥h(x) 恒成立，且 m 为整数，可得 m 的最小值为1

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