题目

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1 ， 且AA1=AB=2． （1） 求证：AB⊥BC； （2） 若直线AC与平面A1BC所成的角为 ，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小． 答案： 证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD， 因AA1=AB，则AD⊥A1B由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC 解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC， 则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则 ∠ACD=π6 在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴ AD=12A1B=2 ，且 ∠ADC=π2 ， ∠ACD=π6 ∴ AD=22 过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，且直角△A1AC中： ∠ADE=A1A⋅ACA1C=2×2223=263 又 AD=2 ， ∠ADE=π2 ∴ sin∠AED=ADAE=2263=32 ，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴ ∠AED=π3 ，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为 π3 ．

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