题目

已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点， （1） 如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE； （2） 如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S四边形GBOH= ，求线段GC的长． 答案： 解：如图1，∵AC=EC，F是AE的中点， ∴CF⊥AE， ∴∠AFC=90°， ∵四边形ABCD是矩形，AD=DC， ∴矩形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠AFC=∠ABC， ∵∠AMF=∠BMC， ∴∠EAB=∠MCB， ∵∠ABE=∠ABC=90°， ∴△AEB≌△CMB， ∴BE=BM 解：如图2，连接BF并延长交直线AD于M， ∵F是AE的中点， ∴AF=EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AC=BD， ∴∠M=∠FBE， ∵∠AFM=∠EFB， ∴△AMF≌△EBF， ∴FM=BF，AM=BE， ∵AD=BC， ∴AD+AM=BC+BE， 即DM=CE， ∵AC=CE， ∴EC=DM=AC=BD， ∴△DMB是等腰三角形， ∵F是BM的中点， ∴DF平分∠BDM， ∵∠BDF=30°， ∴∠BDM=60°， ∴△BDM是等边三角形， ∴∠M=60°， 在Rt△BCD中，∠BDC=90°﹣60°=30°， ∴∠DBC=60°， ∵OB=OC， ∴∠DBC=∠OCB=60°， ∴△ACE为等边三角形， 在△OHD中，∠HOD=∠BOC=60°， ∴∠OHD=90°， 设OH=x，则OD=2x，BD=4x，BC=2x， ∴DH= 3 x，AH=x，DC=AB=2 3 x， Rt△ABC中，∠ACE=60°， ∴∠BAC=30°， ∴cos30°= AHAG ， AG= x32 = 23x3 ， ∴BG=AB﹣AG=2 3 x﹣ 23x3 = 43x3 ， ∴S四边形GBOH=S△DGB﹣S△OHD， = 12 BG•AD﹣ 12 OH•DH， = 12 • 43x3 •2x﹣ 12 •x• 3 x= 1532 ， 解得：x2=9， x=±3， ∴BC=2x=6， BG= 433 ×3=4 3 ， 由勾股定理得：CG= BC2+BG2 = (43)2+62 =2 21 ．

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