题目
已知抛物线C:y=-x2+mx-1和点A(3,0),B(0,3),求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。
答案:抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3<m≤ 解析: ①必要性: 由已知得,线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3) 由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点, 所以方程组*有两个不同的实数解。 消元得:x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3) 设f(x)=x2-(m+1)x+4,则有 ②充分性: 当3<x≤时, x1=>0 ∴方程x2-(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0<x1<x2≤3,方程组*有两组不同的实数解。 因此,抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3<m≤。