题目

如图， 是边长为9的等边三角形， 是 边上一动点，由 向 运动（与 、 不重合）， 是 延长线上一动点，与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动（ 不与 重合），过 作 于 ，连接 交 于 （1） 若 时，求 的长 （2） 当点 ， 运动时，线段 与线段 是否相等？请说明理由 （3） 在运动过程中线段 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 的长；如果发生变化，请说明理由 答案： 解：∵△ABC是边长为9的等边三角形 ∴∠ACB=60°，且∠BQD=30° ∴∠QPC=90° 设AP= x ，则PC= 9−x ，QB= x ∴QC= 9+x ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30° ∴PC= 12 QC即 9−x=12(9+x) 解得 x=3 ∴当∠BQD=30°时，AP=3 相等, 证明：过P作PF∥QC，则△AFP是等边三角形 ∴AP=PF,∠DQB=∠DPF ∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP， ∴BQ=PF， 在△DBQ和△DFP中， {∠DQB=∠DPF∠ODB=∠PDFBQ=PF ∴△DBQ≌△DFP(AAS) ∴QD=PD 解：不变, 由（2）知△DBQ≌△DFP ∴BD=DF ∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB， ∴AE=EF， ∴DE=DF+EF= 12 BF+ 12 FA= 12 AB= 92 为定值，即DE的长不变.

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