题目

已知函数 ， . （1） 证明： 有且仅有一个零点； （2） 当 时，试判断函数 是否有最小值？若有，设最小值为 ，求 的值域；若没有，请说明理由. 答案： 证明：∵ a<0 ， ∴ x∈(0,1) 时，显然有 f(x)=xlnx+a<0 ，函数 f(x) 无零点； 又∵ f′(x)=1+lnx ， ∴ x∈[1,+∞) 时， f′(x)=1+lnx>0 ， f(x) 单调递增 又 f(1)=a<0 ， e−a>1 ， f(e−a)=−ae−a+a=a(1−e−a)>0 ，即 f(1)f(e−a)<0 ， 故存在唯一的 x0∈(1,e−a) ，使 f(x)=0 ， 综上可知，函数 f(x) 有且仅有一个零点. (备注：亦可用放缩取点，如 f(1−a)=(1−a)ln(1−a)+a>1−a−1+a=0 ，用此法需证 xlnx>x− 1(x>1) ，其他取点方法合理即可) 解： g′(x)=xlnx+a x∈(0,1] ， g′(x)=f(x)<0 ， x∈(1,+∞) ， g′(x)=f(x) 单调递增. 又 g′(1)=a<0 ， g′(e2)=2e2+a>0 ， 故存在唯一 x1∈(1,e2) ，使 g′(x1)=0 ，即 x1lnx1+a=0 . x∈(0,x1) ， g′(x)<0 ， g(x) 单调递减； x∈(x1,+∞) ， g′(x)>0 ， g(x) 单调递增. 因此函数 g(x)=12x2lnx−14x2+ax 有最小值. h(a)=g(x)min=g(x1)=12x12lnx1−14x12+(−x1lnx1)x1=−12x12lnx1−14x12 令 φ(x)=−12x2lnx−14x2 ， x∈(1,e2) ，则 φ′(x)=−xlnx−x<0 ， 故 φ(x) 单调递减. 进而 φ(x)∈(φ(e2),φ(1))=(−54e4,−14) ，即 h(a) 的值域为 (−54e4,−14)

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