题目

立德中学和树人中学各派一名学生组成一个联队参加一项智力竞赛，这个智力竞赛一共两轮，在每一轮中，两名同学各回答一次题目，已知，立德中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是 ，树人中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是 ；每轮中，两位同学答对与否互不影响，各论结果亦互不影响，求： （Ⅰ）两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多 个的概率； （Ⅱ）两轮比赛后，记 为这两名同学一共答对的题目数，求随机变量 的分布列和数学期望． 答案：解：（Ⅰ）设事件 A 为立德中学的学生答对一道，树人中学的学生一道也没答对,设事件 B 为立德中学的学生答对二道，树人中学的学生答对一道，设事件 C 为两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多 1 个, 所以 P(A)=C21(34)⋅(14)⋅C22(13)2=124,P(B)=C22(34)2⋅C21(23)(13)=14 , 因此 P(C)=P(A)+P(B)=724 ; （Ⅱ）由题意可知: X=0,1,2,3,4 P(X=0)=C22(14)2⋅C22(13)2=1144, P(X=1)=C22(14)2⋅C21(23)(13)+C21(34)(14)⋅C22(13)2=572, P(X=2)=C22(34)2⋅C22(13)2+C22(14)2⋅C22(23)2+C21(14)(34)⋅C21(23)(13)=37144, P(X=3)=C22(34)2⋅C21(23)(13)+C21(34)(14)⋅C22(23)2=512 , P(X=4)=C22(34)2⋅C22(23)2=14 , 随机变量 X 的分布列为下表： X 0 1 2 3 4 P 1144 572 37144 512 14 所以 EX=0×1144+1×572+2×37144+3×512+4×14=176.

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