题目

设a ， b ， c ， d均为正数，且a + b = c + d ， 证明： （1） 若ab > cd；则 ； （2） 是 的充要条件。 答案： 解：因为 (a+b)2=a+b+2ab，(c+d)2=c+d+2cd ，由题设 a+b=c+d，ab>cd 得：(a+b)2>(c+d)2 因此 a+b>c+d 解：（ⅰ）若 |a−b|<|c−d| ，则 (a−b)2<(c−d)2 ，即 (a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd ，因为 a+b=c+d ，所以 ab>cd ，由（1）得 a+b>c+d .（ⅱ）若 a+b>c+d ，则 (a+b)2>(c+d)2 ，即 a+b+2ab>c+d+2cd ，因为 a+b=c+d ，所以 ab>cd ，于是 (a−b)2=(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd=(c−d)2 ，因此 |a−b|<|c−d| .综上， a+b>c+d 是 |a−b|<|c−d| 的充要条件.

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