题目

已知函数的振幅为2，初相为 ， 函数的图象关于轴对称. （1） 求函数的最小正周期和单调递增区间； （2） 函数 ， ， 若恒成立，求的取值范围. 答案： 解：由题意可知A=2，φ=π6.令h(x)=f(x+π)=2sin[ω(x+π)+π6].∵h(x)的图象关于y轴对称，∴h(0)=2sin(πω+π6)=±2，∴πω+π6=π2+kπ，k∈Z，∴ω=13+k，k∈Z.∵1<ω<2，∴ω=43，∴f(x)=2sin(43x+π6)，∴函数y=f(x)的最小正周期T=2π43=3π2.令−π2+2kπ≤43x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π2+32kπ≤x≤π4+32kπ，k∈Z，∴函数y=f(x)的单调递增区间为[−π2+32kπ，π4+32kπ]，k∈Z. 解：g(x)=−2f2(34x)+mf(34x)=−8sin2(x+π6)+2msin(x+π6).令t=sin(x+π6)，∵x∈[π6，π2]，∴t∈[32，1]，∴g(x)≤1恒成立等价于k(t)=−8t2+2mt≤1在[32，1]上恒成立.易知2m≤1+8t2t=1t+8t.由函数m(t)=1t+8t在[32，1]上单调递增可得：1t+8t≥1433，∴2m≤1433，∴m≤733，即m的取值范围为(−∞，733].

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