题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）． （1） 求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2） 如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值； （3） 如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由． 答案： 解：∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，∴{9a−3b+3=0a+b+3=0 ，得{a=−1b=−2，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4） 解：设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，{−3k+m=0−k+m=4，得{k=2m=6，∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），∴设点P的坐标为（p，2p+6），∴S△PAE＝−p⋅(2p+6)2＝﹣（p+32）2+94，∵﹣3＜p＜﹣1，∴当p＝﹣32时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝94，即△PAE面积S的最大值是94； 解：抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，∴OA＝PQ，∵点A（﹣3，0），∴OA＝3，∴PQ＝3，∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），∴{q−p=32p+6=−q2−2q+3，解得，{p=−5+7q=−2+7或{p=−5−7q=−2−7（舍去），当q＝﹣2+7时，﹣q2﹣2q+3＝27﹣4，即点Q的坐标为（﹣2+7，27﹣4）．

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