题目

设函数的定义域为D，如果存在 ， 使得在上的值域也为 ， 则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数． （1） 求函数的解析式； （2） 若函数 ， 当的最小值是0时，求m的值； （3） 若函数 ， 且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围． 答案： 解：因为幂函数f(x)=(2p2−5p+3)x−p+1在(0，+∞)内是单调增函数，所以{2p2−5p+3=1−p+1>0，解得p=12，所以函数f(x)的解析式为f(x)=x12=x． 解：g(x)=f2(x)+mf(x)=x+mx，x∈[1，4]，令t=x，则t∈[1，2]，则G(t)=t2+mt，t∈[1，2]，当−m2⩽1，即m⩾−2时，G(t)的最小值为G（1）=1+m，所以1+m=0，解得m=−1；当1<−m2<2，即−4<m<−2时，G(t)的最小值为G(−m2)=−m24，所以−m24=0，解得m=0（舍)；当−m2⩾2，即m⩽−4时，G(t)的最小值为G（2）=4+2m，所以4+2m=0，解得m=−2（舍)．综上，m的值为-1． 解：h(x)=n−f(x+2)=n−x+2，x⩾−2，则h(x)在[−2，+∞)上单调递减，因为h(x)是“A佳”函数，所以{h(a)=n−a+2=bh(b)=n−b+2=a，令a+2=S，b+2=T，则a=S2−2，b=T2−2，所以{n−S=T2−2n−T=S2−2，所以T2+S=S2+T，所以(T−S)(T+S−1)=0，因为a<b，所以S<T，所以T+S−1=0，T=1−S，所以b+2=1−a+2，代入n−b+2=a，得n=a+1−a+2=(a+2−12)2−54，因为a<b，所以0⩽a+2<b+2=1−a+2，得a+2<12，令t=a+2，t∈[0，12)，所以n=(t−12)2−54，该函数在[0，12)上单调递减，所以−54<n⩽−1，所以实数n的取值范围是(−54，−1].

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