题目

对于集合 ， ， , .集合 中的元素个数记为 .规定：若集合 满足 ，则称集合 具有性质 ． （I）已知集合 ， ，写出 ， 的值； （II）已知集合 ， 为等比数列， ，且公比为 ，证明： 具有性质 ； （III）已知 均有性质 ，且 ，求 的最小值. 答案：解：（I）由题意可得： A+A={2,4,6,8,10,12,14} ， B+B={23,1,53,3,43,2,103,83,4,163} , 故 |A+A|=7;|B+B|=10. （II）要证 A 具有性质 T ，只需证明，若 n1<n2≤n3<n4 ，则 an1+an4≠an2+an3 . 假设上式结论不成立，即若 n1<n2≤n3<n4 ，则 an1+an4=an2+an3 . 即 qn1+qn4=qn2+qn3 ，即 qn4−n1=qn2−n1+qn3−n1−1 ， (23)n4−n1=(23)n2−n1+(23)n3−n1−1 ， 2n4−n1=2n2−n1×3n4−n2+2n3−n1×3n4−n3−3n4−n1 . 因为上式的右边为 3 的倍数，而上式的左边为 2 的倍数，所以上式不成立. 故假设不成立，原命题成立. （III）由题意，集合 A 具有性质 T ，等价于任意两个元素之和均不相同. 如，对于任意的 a<b≤c<d ，有 a+d≠b+c ， 等价于 d−c≠b−a ，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同. 令 A*={x−y|x∈A,y∈A,x>y} ， 所以 A 具有性质 T ⇔|A+A|=n(n+1)2⇔|A*|=n(n−1)2 . 因为集合 A,B 均有性质 T ，且 n=m ， 所以 |A+B|=n2−|A*∩B*| ≥n2−n(n−1)2=n(n+1)2 ，当且仅当 A=B 时等号成立. 所以 |A+B| 的最小值为 n(n+1)2 .

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